رده بندی ابررویه های آفین موضعی قوی- کوژ با 3- فرم موازی در بعدهای n

فلیکس کلاین درسال ‎‏‏????‎ در برنامه ارلانگن خود اعلام کرد که هندسه های مختلف را می توان با مطالعه ناورداهای گروه مناسبی از تبدیل ها بدست آورد. کلاین برنامه خود را برای هندسه های مقدماتی بیان کرد‏، ولی در ابتدای قرن بیستم تیتزه به برنامه ارلانگن از دیدگاه هندسه دیفرانسیل آفین اشاره کرد و برای نخستین بار یکی از مهمترین رده از رویه ها در هندسه دیفرانسیل آفین، که آنها راs -‎رویه ها نامید، بررسی کرد. این مطالعه آغاز پیدایش هندسه دیفرانسیل آفین رویه ها بود. ‎ بررسی منظم و اصولی خم ها و رویه ها در فضای آفین نخستین بار در سال ‎????‎ توسط بلاشکه‎ صورت گرفت، بلاشکه به همراه ریاضیدانان دیگری مانند کارتان، نوردن‎، بارتل، کلابی‎ ، نومیزو‎، رادون، پیک‎و بروالد‎ به مطالعه جنبه های ساختاری این هندسه پرداختند. در آغاز هدف و موضوع اصلی در هندسه دیفرانسیل آفین ، مطالعه ی ویژگی هایی از رویه ها در فضای آفین ‎?-‎بعدی بود که نسبت به گروه تبدیل های آفین ناورداست. این پژوهش ها به سرعت به ابررویه های ‎nـبعدی در فضای آفین r^(n+1) گسترش یافت. نخستین تفاوت آشکار هندسه آفین با هندسه ریمانی در این است که عنصر حجم یک خمینه در فضای آفین بدون متریک تعریف می شود، در واقع در این هندسه عنصر حجم به نوعی نقش متریک را ایفا می کند. به همین دلیل تبدیل های آفین تک مدولی نگه دارنده ی عنصر حجم پس نگه دارنده ی جهت هم هستند.اساس کار در بررسی ابررویه های آفین این است که فضای r^(n+1) را یک فضای آفین - n+1بعدی نسبت به هموستار تخت ذاتی d و یک فرم حجم موازی ? (داده شده به وسیله ی نگاشت دترمینان) در نظر می گیرند. ‎m یک خمینه ی هموار همبند با بعد n ?2 چنان که ? f? m?^n ? r^(n+1)یک فروبری ابررویه ناتبهگون به همراه یک میدان برداری تراگرد تک مدولی ?? بر ‎m است. این میدان برداری تراگرد ?، هموستار آفین ? و متریک شبه ریمانی ‎h را بر ‎ mالقا می کند که به آن متریک بلاشکه گویند. افزون بر آن ? ?هموستار لوی-چیویتای وابسته به متریک آفین ‎h‎ است، یعنی ? ?h=0 و برای هر میدان برداری دلخواه ‎y و x‎ بر ‎m، ? ?_x y- ? ?_y x= [x,y] و تانسور تفاضل k‎ به صورت : k(x,y)=k_x y= ?_x y-? ?_x y معرفی می شود که ارتباط آن با ‎?-‎فرم c=?h ، عبارت است از : h(k(x,y),z)=?(1/2) c(x,y,z) . قضیه مشهور پیک-بروالد، بیان می کند که صفر بودن ‎?-‎فرم ‎c هم ارز این است کهm‎ به طور موضعی یک رویه ی درجه ی دوم ناتبهگون است، یعنی ‎mقسمت بازی از یک رویه ی درجه ی دوم ناتبهگون است. مساله ای که تاکنون در هندسه ی آفین حل نشده است، رده بندی ابررویه های آفین ناتبهگون در r^(n+1) با ‎?-‎فرم موازی است. نخستین بار بوکان‎ نشان داد که چنین ابررویه هایی لزوما کره های آفین هستند، افزون برآن قضیه ی نشان می دهد هر ابررویه آفین ناتبهگون در r^(n+1) با ‎?-‎فرم موازی ، کره ی آفین موضعی همگن است. پس از سال ها تلاش دایلن‎ ، ورانکن‎ ، نومیزو و دیگران رده بندی برای ابررویه های آفین موضعی قوی‏-کوژ با ‎?-‎فرم موازی درr^(n+1) ‎برای بعد های n=2,3,4را ارائه دادند‎. در این پایان نامه رده بندی چنین ابررویه هایی با بعد ‎n=5,6,7‎ ارائه می شود، بنابراین همه ی ابرویه های آفین موضعی قوی-‎‎ با ‎?-‎فرم موازی درr^(n+1) برای بعد ‎n?7رده بندی می شوند. ‎ بیان می شود. در فصل دوم مفهوم فروبری ها در فصل اول پایان نامه ابتدا پیش نیازها و ابررویه های آفین ارائه می شود. در فصل سوم برخی از مهمترین رده بندی های صورت گرفته در هندسه دیفرانسیل آفین برای ابررویه ها با شرط مناسب بررسی می شود‎‏‎‎.‏